TASAS DE INTERES

Tasas de interes

Las tasas de interés representan el costo de los recursos tomados en préstamo o la rentabilidad de una inversión y pueden ser de dos tipos: tasas nominales y tasas efectivas tasas nominales Son tasas que sirven de referencia para una operación, es decir, un valor aproximado del costo o rentabilidad real de una operación financiera. Por lo general estas tasas son anuales y siempre se denota el periodo de liquidación en el que realmente se capitalizan los intereses (frecuencia de capitalización) y si ésta es vencida o anticipada Tasa (r) Capitalización intereses

Nomenclatura

Nominal anual día vencido/ Diaria/ NADV

Nominal anual mes vencido/ Mensual/ NAMV

Nominal anual bimestre vencido/ Bimestral/ NABV

Nominal anual trimestre vencido /Trimestral /NATV

Nominal anual cuatrimestre vencido /Cuatrimestral/ NACV

Nominal anual semestre vencido/ Semestral/ NASV

Nominal anual año vencido/ Anual / NAAV

ejemplos

12 NAMV Indica que la tasa es nominal, que la base es anual y que los intereses se capitalizan cada mes en dicho año, es decir, 12 veces.

15% Nominal con intereses capitalizables cada trimestre, es decir, NATV

 10% Nominal con intereses liquidables cada mes, es decir,  NAMV

 12% Nominal con intereses convertibles cada semestre, es decir,  NASV

Tasas efectivas

Es la tasa que efectivamente se paga en un  periodo de capitalización o al año, es decir, las  tasas efectivas pueden ser:

• Periódicas

• Anuales

Tasas periódicas

Señalan la tasa pactada para cada periodo, es decir, la periodicidad en un año (diaria, mensual, bimestral, trimestral, cuatrimestral, semestral) en la cual los intereses se liquidan y se reinvierten. A medida que es menor esta periodicidad aumenta la rentabilidad efectiva anual de una inversión.

 ip=  r/k

Donde

ip = Tasa de Interés periódica

r= Tasa nominal

k= frecuencia de capitalización de los intereses periódicos

tasas efectiva anuales

En este caso se denominan Tasa Efectiva Anual y es aquella tasa que mide la rentabilidad o costo efectivo que se obtiene en un año, al capitalizar o reinvertir los intereses que se liquidan en cada periodo.

Ea= (1+r/k)k-1

Donde

r = Tasa nominal

k= frecuencia de capitalización de los intereses periódicos que se conoce

tasas anticipadas

Los intereses de una inversión pueden liquidarse al vencimiento o al principio de la inversión o préstamo, en cuyo caso las tasas se denominan anticipadas.

Por ejemplo, en el caso de un préstamo, los intereses se cobran al inicio, por lo que el deudor recibe menos dinero al inicio

Tasas Indexadas

Las tasas indexadas son aquellas tasas sujetas a la variación de una tasa básica

(BASE) más un margen fijo (SPREAD). Por lo general son certificadas por una

autoridad monetaria y en Colombia las principales son la DTF, el IPC y la UVR.

A partir del principio de equivalencia de tasas, podemos calcular una tasa

indexada cuando conocemos su base, de la siguiente forma:

Ejemplo

Tasa reales

Es la tasa de interés que “realmente” gana un inversionista cuando se descuenta la

inflación.

Ejemplo

INTERÉS COMPUESTO EJERCICIOS

INTERES COMPUESTO

Interés compuesto
 Es el interés que se genera sobre el saldo capital más los intereses generados en periodos anteriores, es decir, los intereses se “capitalizan” sumándolos al valor de la deuda o inversión.


Capitalizacion
El periodo en el que los intereses se suman al capital se denomina periodo de capitalización o periodo de conversión. En general, podemos saber cuántas veces en un año se suma el interés al capital o frecuencia de capitalización K si dominamos los periodos en los que se
puede dividir un año:

Valor futuro con interes compuesto


Para conocer el saldo capital futuro de una inversión, se deben tener en cuenta los intereses que se generan en cada periodo y sumarlos al capital. Por ejemplo para un valor P, el
saldo en el futuro a una tasa i% en n periodos será:

VF =VP×(1+i)n

Donde,

VF = Valor futuro del capital
VP = Valor del capital inicial del préstamo o inversión
i%= tasa de interés compuesta del periodo
n = número de periodos o plazo.

EJEMPLO

Si una persona invierte hoy $1.700.000 a una tasa de interés del 2.5%
mensual, ¿cuánto dinero dispondrá en un año?

VP = $1´700.00
i% = 2.5% mensual
n = 12 meses
VF = 700´1 000. × 1( + 025.0 ) = 2´286.311

Periodicidad y plazo en el interes compuesto

Al igual que en el interés simple, para poder hacer operaciones con interés compuesto se
debe tener en cuenta que la periodicidad o en este caso periodo de capitalización de la tasa
sea el mismo que el del plazo.

EJEMPLO





Un banco paga una tasa de interés del 12% anual sobre inversiones que realizan los
clientes. Si una persona invierte $5´000.000 hoy, ¿cuánto le entregarán si los retira a
los tres meses?

VP = $5´000.00
i% = 12% anual
n = 3 meses

Como vemos la tasa es anual pero el plazo en este caso es mensual, por lo que 
primero hacemos la conversión a años con una regla de tres: 

El valor futuro de la inversión en el banco será de:

0.25 VF = ´5 000.000× 1( + 12.0 ) = 5´143.686,72

Valor presente con interés compuesto


Conociendo el valor futuro, podemos deducir la fórmula del Valor presente con interés 
compuesto:








Donde,

VF = Valor futuro del capital
VP = Valor del capital inicial del préstamo o 
inversión
i%= tasa de interés compuesta del periodo
n = número de periodos o plazo.

EJEMPLO


Una persona desea invertir hoy en un fondo una suma de dinero para disponer de $3´300.000 dentro de año y medio. ¿Cuál será la suma de dinero a depositar si la tasa de interés compuesta o rendimiento reconocido es del 1.2% trimestral?

VF = $3´300.000
i% = 1.2% trimestral
n = 1.5 años

Como la tasa es trimestral, primero hacemos la conversión del plazo que se 
encuentra en años a trimestres:

INTERES SIMPLE

INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

Es el interés que se calcula solamente sobre el capital inicial del préstamo o inversión y no sobre los intereses que se van generando periodo tras periodo.

I =VP*i%*n

Donde:
I = Magnitud del Interés
VP = Valor del capital inicial del préstamo o inversión
i%= tasa de interés simple del periodo
n = numero de periodos o plazo

EJEMPLO

¿Cuál será la magnitud de los intereses generado por una inversión de $4’000.000 a una tasa de interés simple del 2% mensual por un plazo de 6 meses?

Valor presente= $4´000.000
Tasa de interés = 2% mensual
Plazo = 6 meses

I = 4´000000*0,02*6
I = 480,000

Periodicidad y plazo en interés simple

En las operaciones financieras con interés simple,

la periodicidad de la tasa debe ser siempre la

misma a la que se encuentra el plazo, es decir:

• Si la tasa es anual, el plazo debe estar expresado en años

• Si la tasa es semestral, el plazo debe estar expresado en 

semestres

• Si la tasa es mensual, el plazo debe estar expresado en 

meses

EJEMPLO 

Calcular el Interés generado por una inversión de $2´500.000

que se hizo durante 3 semestres a una tasa de interés simple del

12% anual.

VP = $2´500.000

i% = 12% anual

n = 3 semestres

Como vemos la tasa de la inversión es anual pero el plazo se encuentra en 

meses; por tanto, hay que expresarlo en años con la ayuda de la tabla 

anterior:

Plazo = 3 semestres * 0.5 semestres que tiene un año = 1.5 años

Ahora, teniendo la tasa y el plazo con la misma periodicidad se puede 

calcular el Interés de la inversión:

I = 2´500.000 * 0.12 * 1.5 = $450.000

Clasificación de interés simple:

Cuando la conversión de la periodicidad del plazo está relacionada con el año en días, se pueden realizar cálculos financieros con base de 360 o base de 365 días, dando lugar a la clasificación del interés simple en:

Interés simple ordinario o comercial

Es aquel donde el interés es calculado en periodos con base en un año de 360 días o lo que es lo mismo meses de 30 días en general.

Interés simple real o exacto 


Es aquel donde el interés es calculado en periodos con base en un año de 365 días o 366 si se trata de años bisiestos. En este caso, se deben tener en cuenta los meses que tienen 31 días y el mes de febrero con 28 o 29.

Ejemplo



Determine el interés simple comercial y exacto de un préstamo de $350.000 

al 7.8% anual simple si el plazo es de 101 días.

Por lo tanto, el interés a pagar por el préstamo será de:

I = 350.000 * 0.78 * 0.277 = $7.554,24

Valor futuro con interes simple

Cuando se vence una operación financiera, el saldo final acumulado llamado “Valor Futuro” será el equivalente al capital inicial más la suma de los intereses generados de forma simple periodo tras periodo, es decir:

VF =VP + I

Donde:

VF= valor final del préstamo o inversión

VP = valor del capital inicial

I = magnitud de los intereses generados 

durante el plazo

Valor futuro con interés simple

Si tenemos en cuenta que I = VP * i * n;  entonces:

VF =VP + (VP*i%* n)

Y al factorizar:

VF =VP(1+ i%*n)

Que es la fórmula para hallar un valor futuro con interés simple.

El término (1 + i*n) es conocido como factor de capitalización simple.

EJEMPLO

¿Cuál será el valor futuro de una inversión de $1´200.000 a si la tasa de 

interés es del 5% trimestral simple a 1 año? 

VP = $1´200.000

i% = 5% trimestral

n= 1 año

Como vimos anteriormente, se debe verificar que la periodicidad del plazo es igual a la periodicidad de la tasa, por tanto, 

primero debemos expresar el plazo en trimestres:

Entonces,

n = 1 año * 4 trimestres que tiene un año = 4 trimestres

VF = 1´200.000 (1+ 0.05* 4)

VF = 240.000

Respuesta: el valor final de la inversión será de $1´440.000

Cuando conocemos el Valor futuro y el Valor presente, podemos conocer el valor  de los Intereses generados en el tiempo sin necesidad de conocer la tasa de  interés:

I =VF −VP

Del ejercicio anterior podemos determinar el valor de los intereses generados al año de 
la inversión:

VP = 1´200.000
VF = 1´440.000
Por tanto,

I = VF – VP
I = 1´440.000 – 1´200.000
I = 240.000

Valor presente con interés simple:


El valor del capital al inicio de una operación financiera se denomina “Valor Presente” y 
depende del Valor futuro, de la tasa de interés simple y del plazo:

EJEMPLO 

Determine el valor desembolsado de un préstamo que se hizo hace 4 años, si 
el valor total pagado incluyendo los intereses fue de $28´585.000 y la tasa de 
interés era del 25% anual simple.

VF = 28´585.000
i = 25% anual
Plazo = 4 años

INTERÉS

EMPECEMOS CON LAS MATEMÁTICAS

Interés:

El interés es la ganancia o utilidad que se obtiene por invertir el dinero durante cierto tiempo.

Si tengo una cantidad de dinero hoy digo que ese dinero está en valor presente, 

por eso lo representamos VP. 

Si tengo una cantidad de dinero a futuro, digo que ese dinero está en valor futuro, 

por eso lo representamos VF. 

Si tenemos en cuenta que el interés es lo que se valoriza el dinero, entonces 

relacionamos estas dos variables:

VF =VP + I

Donde:

VP = Cantidad disponible para invertir o que es recibida en préstamo. 

I = Interés, ganancia o utilidad.

De acuerdo a lo anterior el interés es la diferencia entre una cantidad futura y una

cantidad del presente:

I =VF −VP

Tasa de interes:

Es el costo de los recursos tomados en préstamo

o la rentabilidad de una inversión

         

i% = VP

           I

          

EJEMPLO:

Suponga que alguien le presta hoy $5.000.000, con la condición que le devuelva $5.450.000 dentro de un año. En este caso el interés cobrado en la operación es de

$450.000 y la tasa de interés se obtiene así:

i% = 450.000  = 0.09

       5.000.000

Pero como la tasa de interés siempre se presenta de forma porcentual, se hace necesario multiplicar por 100 el resultado obtenido en la operación matemática pues este se obtiene en forma decimal. Por tanto el interés es del 9% anual.

EJEMPLO 2

Un negocio que fue constituido con un capital de $30.000.000 entrega a sus dueños mensualmente una utilidad neta de $687.000.

¿Cuál es la rentabilidad que deja este negocio a sus dueños?

Capital inicial: $30´000.000

Intereses mensuales: $687.000

i% =  687.000   = 0.0299      i% = 2.99% mensual 

       30´000.000

Nótese que la tasa es mensual; ya 

que la cantidad expresada de los 

intereses es mensual.

Equivalencia financiera:

La tasa de interés entonces es lo que me permite establecer equivalencias financieras en el tiempo, por ejemplo, si la tasa de interés es del 6% anual, entonces $100 de hoy equivalen a $106 dentro de un año; se puede afirmar que las dos sumas de dineros son equivalentes entre sí cuando la tasa de interés es del 6% anual.

$106 = $100 + $100*6%

OBJETIVO GENERAL Y CONCEPTOS BASICOS

Objetivo general 

Proporcional los temas de las matemáticas financieras, a partir de los conceptos Valor del dinero en el tiempo, Tasas de interés, Proyecciones financieras y Evaluación financiera de proyectos para la solución de problemas en la operación y evaluación de los instrumentos de inversión.    

Empecemos con un concepto básico 

¿QUE ES MATEMÁTICAS FINANCIERA?

Es un conjunto de técnicas derivadas de las matemáticas y aplicadas a las finanzas, que estudia el valor del dinero en el tiempo combinando tres factores: el capital, el

tiempo y la tasa de interés con el objetivo de obtener un resultado que al evaluarlo a través de algunos métodos, permite tomar decisiones financieras adecuadas.

Valor del dinero en el tiempo:

“un peso de hoy vale más que un peso de mañana”, el dinero se valoriza a través del tiempo a una tasa de interés, por lo que el prestatario después de un plazo pagara una cantidad de dinero mayor que lo prestado.

Dinero:

El dinero es un medio de cambio y medida de valor en el pago de bienes y /o servicios, o como descargo de deudas y obligaciones.

Inversión:

Se entiende por inversión a toda vinculación de recursos líquidos a cambio de la expectativa de obtener beneficios durante un período de tiempo futuro.

Riesgo:

La posibilidad de no obtener los pagos en las fechas y montos previstos, lo cual puede acarrear una pérdida parcial o total del capital invertido.

En finanzas se distingue el riesgo de la incertidumbre. Existe riesgo cuando se conoce la

probabilidad de ocurrencia de algún hecho o evento que pueda cambiar los resultados

esperados en una inversión.

Liquidez:

La liquidez es un concepto económico que mide que tan rápido un activo puede ser convertido en dinero en efectivo, sin que el mismo sufra una perdida en su valor real. 

Rentabilidad:

es la capacidad de producir o generar un beneficio adicional sobre la inversión o esfuerzo realizado.

Mercado financiero:

Es el lugar, mecanismo o sistema electrónico en el cual se compran y venden activos

financieros y se determina su precio. Dependiendo entonces de la fecha de

vencimiento que tengan estos activos financieros existen dos tipos de mercado:

Mercado de Dinero y Mercado de Capitales.

Inflación:

Se refiere la elevación del nivel

general de los precios, lo que 

implica pérdida del poder

adquisitivo. 

IPC : El IPC es la medida de la

inflación en la economía.

Valor del dinero:

Al ser un medio de pago el dinero se debe valorizar en el tiempo de tal forma que aunque
suban los precios de los bienes y servicios se puedan seguir adquiriendo.

Poder adquisitivo:

A medida que suben los precios de los bienes y servicios en mayor
proporción, con la misma cantidad de dinero se van adquiriendo cada menos
de ellos.

Ejemplo:

Si un par de zapatos valen hoy $100.000 y la inflación proyectada para el año entrante es de un 7%, esto quiere decir que para adquirir los mismos zapatos dentro de un año, será necesario disponer de  $107.000.   

VF = 100.000 + 100.000 x 0,07 =  100.000 x (1 + 0,07) = 100.000 x 1,07

VF = 107.000

http://www.slideshare.net/AldoMaGe/el-valor-del-dinero-en-el-tiempo-isabel